Google Custom Search
#9

Zadanie Banacha

2007-02-14 02:31:54

dodał Pobut

Zadanie Banacha

Matematyk ma dwa pudełka zapałek, w każdym po N zapałek. Za każdym razem, gdy chce zapalić fajkę najpierw losuje jedno z pudełek i wyciąga z niego zapałkę. Musi nadejść chwila, gdy jedno z pudełek będzie puste. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wtedy w drugim pudełku będzie dokładnie K zapałek?

#522 dodał mkorzyc
2007-08-27 16:47:12


Moment opróżnienia jednego pudełka (przyjmijmy, że lewego) do zera można zapisać jako ciąg o długości n=2N-K symbolicznie zapisanych zdarzeń: L - wylosowano z lewego pudełka, P - z prawego. Na przykład: LLPLPL oznacza, że wylosowano cztery razy z lewego pudełka, pozostawiając w prawym dwie zapałki (przypadek N=4, K=2)

Prawdopodobieństwo pozostania K zapałek w pudełku jest równe stosunkowi ilości ciągów w których zdarzenie P wystąpiło k=N-K razy do ilości wszystkich ciągów danej długości. Ponieważ nie ineteresują nas ciągi kończące się zdarzeniem P skracamy długość ciągu do n'=n-1 (opróżnienie lewego pudełka kończy zawsze zdarzenie L).

Teraz będzie już prosto ;) Zwykła kombinacja bez powtórzeń k elementów ze zbioru n' elementowego dzielona przez permutację zbioru n'.
P(K)=(n' po k)/(2 do n')=(2N-K-1 po N-K)/(2 do 2N-K-1)

Przykładowo dla N=1

n=2N-K=2*1-1=1
n'=n-1=1-1=0
k=N-K=1-1=0

P(1)=(0 po 0)(2 do 0)=(0!/(0!*0!))*2^0=(1/(1*1))*1=1

( 0!=1 )

Przykładowo dla N=2

P(1)=(2 po 1)/(2 do 2)=4/8
P(2)=(1 po 0)/(2 do 1)=4/8

Przykładowo dla N=3

P(1)=(4 po 2)/(2 do 4)=3/8
P(2)=(3 po 1)/(2 do 3)=3/8
P(3)=(2 po 0)/(2 do 2)=2/8

Przykładowo dla N=4

P(1)=(6 po 3)/(2 do 6)=5/16
P(2)=(5 po 2)/(2 do 5)=5/16
P(3)=(4 po 1)/(2 do 4)=4/16
P(4)=(3 po 0)/(2 do 3)=2/16

itd...widać, że prawdopodobieństwo, że w drugim pudełku pozostanie dużo zapałek jest mniejsze od tego, że zostanie jedna i maleje wraz z ich ilością.

Nic dodać nic ująć! Panowie czapki z głów i brawa!

dorzucę jeszcze obrazek z rózwnaniem



Rozwiązania odrzucone przez administratora


Administrator odrzucił poniższe rozwiązania
#229 dodał Anonim
2007-07-06 21:18:52


prawdopodobieństwo równa się X

#245 dodał Ania
2007-07-10 01:36:29


P(K) należy <1/N;1/2N>

hmmm..., wydaje mi się, że możliwe jest podanie dokładniejszego wyniku dla danych K i N

#318 dodał Wojtek
2007-07-19 17:59:26


-ilość zapałek 2N (po N na pudełko)

-każde sięgnięcie po zapałkę to 1/2 szans trafienia na to samo pudełko

- ilość "sięgnięć" po zapałki, przy założeniu, że:  "Musi nadejść chwila, gdy jedno z pudełek będzie puste" mieścić będzie się w przedziale od N (co stanowi najmnijeszą konieczną ilość sięgnięć, w założeniu trafiania cały czas do tego samego pudełka, by jedno pudełko pozostało puste, a w drugim pozostało K zapałek) do 2N-1 (co stanowi maksymalną liczbę sięgnięć, ponieważ choć w jednym pudełku musi zostać co najmniej jedna zapałka)

sytuacje:

1) matematyk sięgnął 2N -1 razy (co oznacza, ze siegał tu i tu)  i wtedy mamy 100% prawdopodobieństwa, że w pudełku mamy K=1 zapałek.

W ogóle, spełnienie warunku, cyt:

"Musi nadejść chwila, gdy jedno z pudełek będzie puste"

zakłada, że w drugim musi zostać co najmniej 1 zapałka - i na to więc mamy

100 % prawdopodobieństwa.

2) prawdopodobieństwo na inne sytuacje , tj. w pudełku zostaje K zapałek,

gdzie K należy  do przedziału od 2 do N      - mamy  50%

wydaje się to dziwne, ale dzieje się tak, ponieważ w matematyce mamy cały czas takie samo prawdopodobieństwo (zaznaczam, ze chodzi o tą sytuację), bowiem każde sięgnięcie, to 50% szans trafienia na pierwsze lub drugie pudełko.

zmniejszająca się liczba zapałek w danym pudełku, a co za tym idzie zwiększająca się liczba sięgnięć,  nie zmienia prawdopodobieństwa.

(praktyka życia mówi co innego, bo nie dalibyśmy w potocznym rozumieniu pojęcia prawdopodobieństwo 50% szans na pozostanie wszystkich zapałek w danym pudełku oraz tyleż samo - 50% na pozostanie np. 2 sztuk)

 


#401 dodał Misiek1233
2007-08-08 14:47:18


To proste.jeżeli w pierwszym pudełku jest 0 zapałek to w drugim musi być x zapałek

gdzie x jest większe od zero a mniejsze bądż równe N.Czyli mamy N możliwości 

Zatem prawdopodobieństwo  że  będzie to K zapałek wynosi K/n.   

dodaj rozwiązanie


Rozwiązanie będzie musiało być zaakceptowane przez administratora przed pojawieniem się na stronie

Nick
1. Przed dodaniem rozwiązania zagadki sprawdź, czy już nie ma podobnego.
2. Rozwiązania napisane bez użycia klawisza [alt] (bez polskich znaków diakrytycznych - śążźćęłó) nie będą nawet czytane.
Rozwiązanie*
Zdjęcie do rozwiązania
Akceptuję regulamin serwisu Mózgowiec.pl*
*Pole obowiązkowe
 
1683 oczekują, 463 odrzucone, 394 zagadki zatwierdzone